Étude asymptotique d'une chaîne de Markov à 2 états : une vision géométrique

Propriété

Soit une chaîne de Markov  $(X_k)$ à  $2$  états, de matrice de transition associée $T$ . Si la chaîne de Markov évolue ( $T\ne I_2$ ), alors il existe une unique distribution invariante de cette chaîne de Markov.

Vision géométrique
On résout $X=XT$  avec  $X=\left(\begin{array}{cc}a& b\end{array}\right)$  et  $T=\left(\begin{array}{cc}p& 1-p\\ q& 1-q\end{array}\right)$ .
$\iff \{\begin{array}{l}a+b=1\text{ avec }0\le a\le 1\text{ et }0\le b\le 1\\ a=pa+qb\\ b=(1-p)a+(1-q)b\end{array}$

En remarquant que la somme des deux dernières équations donne  $a+b=a+b$ , on peut supprimer la dernière équation.
Donc  $X=XT\iff \{\begin{array}{l}a+b=1\\ (1-p)a-qb=0\end{array}$

Dans un plan où on place  $a$  en abscisses et  $b$  en ordonnées, cela revient donc à chercher l'intersection de deux droites  $d_1$ et  $d_2$ à l'intérieur d'un carré délimité par les axes du repère et les droites  $x=1$  et  $y=1$ .
La droite  $d_1$ , d'équation  $a+b=1$ , passe par les points de coordonnées  $(1;0)$  et  $(0;1)$ .
La droite  $d_2$ , d'équation  $(1-p)a-qb=0$ , passe par l'origine du repère et a pour vecteur directeur  $\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{c}q\\ 1-p\end{array}\right)$ .
Comme $T$  est une matrice stochastique, on a $q\ge 0$  et  $1-p\ge 0$ .
De plus, comme on a pris ( $T\ne I_2$ ), on a  $\overrightarrow{v}\ne \overrightarrow{0}$ .

On a retrouvé géométriquement l'existence et l'unicité d'une distribution invariante.

Remarque

Le cas où  $T=I_2$  correspond à  $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}$ , donc tous les points du segment reliant les points  $(1;0)$  et  $(0;1)$  conviennent.