Étude asymptotique d'une chaîne de Markov à 2 états : une vision géométrique

Propriété

Soit une chaîne de Markov  \((X_k)\) à  \(2\)  états, de matrice de transition associée \(T\) . Si la chaîne de Markov évolue ( \(T\neq I_2\) ), alors il existe une unique distribution invariante de cette chaîne de Markov.

Vision géométrique
On résout \(X=XT\)  avec  \(X=\begin{pmatrix}a&b\end{pmatrix}\)  et  \(T=\begin{pmatrix}p&1-p\\q&1-q\end{pmatrix}\) .
\(\Leftrightarrow \begin{cases} a+b=1 \text{ avec } {0}\leq{a}\leq{1} \text{ et } {0}\leq{b}\leq{1} \\ a=pa+qb\\b=(1-p)a+(1-q)b \end{cases}\)

En remarquant que la somme des deux dernières équations donne  \(a+b=a+b\) , on peut supprimer la dernière équation.
Donc  \(X=XT \Leftrightarrow \begin {cases} a+b=1\\(1-p)a-qb=0 \end {cases}\)

Dans un plan où on place  \(a\)  en abscisses et  \(b\)  en ordonnées, cela revient donc à chercher l'intersection de deux droites  \(d_1\) et  \(d_2\) à l'intérieur d'un carré délimité par les axes du repère et les droites  \(x=1\)  et  \(y=1\) .
La droite  \(d_1\) , d'équation  \(a+b=1\) , passe par les points de coordonnées  \((1 ; 0)\)  et  \((0;1)\) .
La droite  \(d_2\) , d'équation  \((1-p)a-qb=0\) , passe par l'origine du repère et a pour vecteur directeur  \(\vec{v} \begin{pmatrix}q\\1-p\end{pmatrix}\) .
Comme \(T\)  est une matrice stochastique, on a \({q}\geq{0}\)  et  \({1-p}\geq{0}\) .
De plus, comme on a pris ( \(T\neq I_2\) ), on a  \(\vec{v} \neq \vec{0}\) .

On a retrouvé géométriquement l'existence et l'unicité d'une distribution invariante.

Remarque

Le cas où  \(T=I_2\)  correspond à  \(\vec{v} = \vec{0}\) , donc tous les points du segment reliant les points  \((1 ; 0)\)  et  \((0 ; 1)\)  conviennent.